Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若過B點的直線與拋物線交于P，與y軸交于E，若BE=PE，求BP的長；
（3）如圖2是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，若存在，求P點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出點B和點C的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，根據(jù)題意列出a，b和c的三元一次方程組，求出a，b和c的值即可；
（2）如圖1，過點P作PF⊥y軸于點F，構(gòu)建全等三角形△PFE≌△BOE（AAS），結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等和二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征來求點P的坐標(biāo)，則易得BP的長度；
（3）①當(dāng)以C為直角頂點時，過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁，過點P₁作y軸的垂線，垂足是M，先求出MC=MP₁，設(shè)P₁（m，-m²+3m+4），則m=-m²+3m+4-4，求出m的值即可；②當(dāng)點A為直角頂點時，過A作AP₂⊥AC，交拋物線于點P₂，過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP₂交y軸于點F．則P₂N∥x軸，求出AO=OF，P₂N=NF，進而得到m的一元二次方程，求出m的值，即可求出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$．
則拋物線的解析式是：y=-x²+3x+4；　　

（2）如圖1，過點P作PF⊥y軸于點F，
∵在△PFE與△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠BOE=90°}\\{∠PEF=∠BEO}\\{PE=BE}\end{array}\right.$，
∴△PFE≌△BOE（AAS），
∴PF=OB．
∵B（-1，0），
∴點P的橫坐標(biāo)是1，
把x=1代入y=-x²+3x+4，得
y=-1²+3×1+4=6，
故P（1，6），
∴BP=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-6）^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

（3）存在．　
第一種情況，如圖2，當(dāng)以C為直角頂點時，過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁．過點P₁作y軸的垂線，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
設(shè)P（m，-m²+3m+4），則m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）．　　　　　　
第二種情況，如圖3，當(dāng)點A為直角頂點時，過A作AP₂，AC交拋物線于點P₂，過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F．
∴P₂N∥x軸，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
設(shè)P₂（n，-n²+3n+4），則n=（-n²+3n+4）+4
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
則P₂的坐標(biāo)是（-2，-6）．
綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（-2，-6）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的解法的知識，解答（2）問時，需要作出輔助線，構(gòu)建全等三角形，解答（3）問需要進行分類討論，此題有一定的難度．