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7.如圖.點A、B、C為⊙O上三點,AC為⊙O的直徑,AB∥CD,AC=CD.連接BD交AC于點E,交⊙O于點F,AB=$\sqrt{7}$,BC=3.
(1)求線段BD的長;
(2)線段CF的長為$\frac{16}{5}$(直接填空)

分析 (1)根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ABC=90°,然后利用勾股定理列式求出AC,再根據兩直線平行,同旁內角互補求出∠BCD=90°,然后利用勾股定理列式計算即可得解;
(2)連接AF,根據直徑所對的圓周角是直角可得∠AFC=90°,再根據同弧所對的圓周角相等可得∠CBD=∠CAF,然后求出△ACF和△BDC相似,利用相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解.

解答 解:(1)∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得,AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{(\sqrt{7})^{2}+{3}^{2}}$=4,
∵AC=CD,
∴CD=4,
∵AB∥CD,
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°,
在Rt△BCD中,由勾股定理得,BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5;

(2)如圖,連接AF,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠AFC=90°,
∴∠BCD=AFC=90°,
又∵∠CBD=∠CAF(同弧所對的圓周角相等),
∴△ACF∽△BDC,
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CF}{CD}$,
即$\frac{4}{5}$=$\frac{CF}{4}$,
解得CF=$\frac{16}{5}$.
故答案為:$\frac{16}{5}$.

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質,圓周角定理,勾股定理,作輔助線,構造出相似三角形是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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交費多少元?(請將未完成的答案填在表格內)
全球通(元)神州行(元)
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200分30+200×0.10=50元200×0.30=60元
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