Question

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，點O為Rt△ABC內一點，連接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，則OA+OB+OC=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 解直角三角形求出∠ABC=30°，根據旋轉角與∠ABC的度數，相加即可得到∠A′BC，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長，再根據旋轉的性質求出△BOO′是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，
∴∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B⊥CB，
∵∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四點共線，
在Rt△A′BC中，A′C=$\sqrt{B{C}^{2}+A{′B}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了利用旋轉變換作圖，旋轉變換的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，綜合性較強，最后一問求出C、O、A′、O′四點共線是解題的關鍵．