Question

（本題12分）結論: 在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．

如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長．

李明同學做了如圖2所示的輔助線：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形，連接PP′，從而問題得到解決．你能說說其中的理由嗎？

請你參考李明同學的思路，解決下列問題：

如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數的大小和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據旋轉得出AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等邊△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，由∠MP′B=30°，求出BM=，P′M=，根據勾股定理即可求出答案；

（2）求出∠BEP=（180°﹣90°）=45°，根據勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F，求出FE=BF=1，AF=2，關鍵勾股定理即可求出AB．

試題解析：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

將△BPC繞點B順時針旋轉60°得出△ABP′，

∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPP′是等邊三角形，

∴PP′=，∠BP′P=60°，

∵AP′=1，AP=2，

∴AP′2+PP′2=AP2，

∴∠AP′P=90°，

∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，

過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M，

∴∠MP′B=30°，BM=，

由勾股定理得：P′M=，

∴AM=1+=，

由勾股定理得：AB==，

（2）將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB，

與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，

∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°，

由勾股定理得：EP=2，

∵AE=1，AP=，EP=2，

∴AE2+PE2=AP2，

∴∠AEP=90°，

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，

過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F；

∴∠FEB=45°，

∴FE=BF=1，

∴AF=2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=；

∴∠BPC=135°，正方形邊長為 ．

答：∠BPC的度數是135°，正方形ABCD的邊長是．

考點：1.等邊三角形的性質2.勾股定理