Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C（1，m）．
（1）求雙曲線的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作直線BD∥x軸，交雙曲線于點(diǎn)D，在x軸上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D和點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)與圖形的關(guān)系求出m，利用待定系數(shù)法計(jì)算即可；
（2）分AB∥DP和PB∥DA兩種情況，根據(jù)平行四邊形的判定定理解答即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（1，m）在直線y=2x+2上，
∴m=4，
∵點(diǎn)C（1，4）在雙曲線$y=\frac{k}{x}$上，
∴k=4．
∴雙曲線的表達(dá)式為$y=\frac{4}{x}$；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=2x+2=0，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
∵BD∥x軸，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，2），
當(dāng)y=2時(shí)，2x+2=0，
解得，x=-1，
則當(dāng)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴當(dāng)AB∥DP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)PB∥DA時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（-3，0）時(shí)，以點(diǎn)A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、平行四邊形的判定，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．