Question

2．如圖，已知A，B，C，D，E五點的坐標分別為（1，2），（3，2），（4，3），（2，6），（3，5）．如果點F在第-象限內，且以D，E，F為頂點的三角形與△ABC全等，那么點F的坐標為（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．

Answer 1

分析 設點F的坐標是（x，y）．分類討論：①△FDE≌△ABC，利用兩點間的距離公式列出關于x、y的二元一次方程組，通過解方程組即可求得點F的坐標；
②當△FED≌△ABC時，利用兩點間的距離公式列出關于x、y的二元一次方程組，通過解方程組即可求得點F的坐標

解答 解：設點F的坐標是（x，y）．
∵A（1，2），B（3，2），C（4，3），D（2，6），E（3，5），
∴AB=2，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，DE=$\sqrt{2}$；
①當△FDE≌△ABC時，FE=AC=$\sqrt{10}$，DF=BA=2，則有$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-6）^{2}=4}\\{（x-3）^{2}+（y-5）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴F₁（2，8），F₂（0，6）；
②當△FED≌△ABC時，FE=AB=2，FD=AC=$\sqrt{10}$，則$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-5）^{2}=4}\\{（x-2）^{2}+（y-6）^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴F₃（5，5），F₄（3，3）；
綜上所述可知點F的坐標為（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．
故答案為：（2，8）或（0，6）或（5，5）或（3，3）．

點評 本題主要考查了全等三角形的性質、坐標與圖形性質．解答該題時，采用“分類討論”的數學思想，以防漏解．