Question

3．如圖，拋物線C：y=-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）（常數(shù)t＞0）與x軸從左到右的交點(diǎn)為B，A，過線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）于點(diǎn)P，若OA•MP=12．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，求AB的長，并求直線MP與拋物線C的對稱軸之間的距離；
（3）用t表示拋物線C的對稱軸．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則可表示出MP，由M為OA的中點(diǎn)，可求得OA，由條件可求得xy，則可求得k的值；
（2）把t=1，代入拋物線解析式，令y=0可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得AB的長，再求得拋物線的對稱軸和直線MP的方程，可求得直線MP與對稱軸之間的距離；
（3）同（2）的方法可用t分別表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用拋物線的對稱性可表示出拋物線的對稱軸．

解答 解：
（1）設(shè)P（x，y）則MP=y，
∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，
∴OA=2x，
∵OA•MP=12，
∴2xy=12，
∴xy=6，
∴k=6；
（2）當(dāng)t=1，y=0時(shí)，0=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x-1+4），解得x=1或x=-3，
∴A（1，0）、B（-3，0），
∴AB=4；
∴拋物線C的對稱軸為直線x=$\frac{1+（-3）}{2}$=-1，
∵OA=1，
∴MP為直線x=$\frac{1}{2}$，
∴直線MP與對稱軸之間的距離為$\frac{1}{2}$-（-1）=$\frac{3}{2}$；
（3）在y=-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）中，令y=0可得-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）=0，解得x=t或x=t-4，
∴A（t，0），B（t-4），
∴拋物線C的對稱軸為x=$\frac{t+（t-4）}{2}$=t-2．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程、分類討論思想和方程思想等知識(shí)．在（1）中注意方程思想的應(yīng)用，在（2）中求得A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在解第（3）問時(shí)類比第（2）問答題過程即可．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．