Question

6．已知直線：y=-x+6交x軸、y軸于A、B兩點，點C、M分別在OA、AB上且OC=2CA，AM=2MB，連接MC，將△ACM繞點M旋轉180°．
（1）記點C的對應點是點E，且點E在y軸上，求點E的坐標；
（2）求sin∠AMC的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意畫出圖形，由直線解析式y=-x+6得點A、B的坐標，即可知OA=OB=6，從而得知∠OAB=∠OBA=45°、AB=6$\sqrt{2}$，由OC=2CA、AM=2MB得AC=2、AM=4$\sqrt{2}$、BM=2$\sqrt{2}$，根據旋轉的性質知AC=FE=2、∠MFE=∠MAC=45°，結合∠FBE=∠OBA=45°可得∠MFE=∠FBE=45°，從而知BE=FE=2，即可得出答案；
（2）作CN⊥AM于點N，由AC=2、∠OAB=45°得CN=AN=ACcos∠OAB=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$、MN=AM-AN=3$\sqrt{2}$，根據勾股定理知MC=$\sqrt{C{N}^{2}+M{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，在Rt△MCN中，根據sin∠AMC=$\frac{CN}{CM}$可得答案．

解答 解：（1）如圖所示，

y=-x+6中，當x=0時y=6，即點B（0，6），
當y=0時-x+6=0，解得x=6，即點A（6，0），
則OA=OB=6，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=6$\sqrt{2}$，
∵OC=2CA，AM=2MB，
∴AC=2，AM=4$\sqrt{2}$、BM=2$\sqrt{2}$，
∵將△ACM繞點M旋轉180°得△FEM，
∴AC=FE=2，∠MFE=∠MAC=45°，
∵∠FBE=∠OBA=45°，
∴∠MFE=∠FBE=45°，
∴BE=FE=2，
則點E的坐標為（8，0）；

（2）作CN⊥AM于點N，
∵AC=2，∠OAB=45°，
∴CN=AN=ACcos∠OAB=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
則MN=AM-AN=3$\sqrt{2}$，
∴MC=$\sqrt{C{N}^{2}+M{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴在Rt△MCN中，sin∠AMC=$\frac{CN}{CM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題主要考查坐標與圖形的變化-旋轉、一次函數圖象與坐標軸的交點、解直角三角形，根據題意及旋轉的性質畫出圖形，并熟練掌握旋轉的性質和解直角三角形的能力是解題的關鍵．