Question

10．平面直角坐標系中，A（-2，6）、B（2，2）
（1）如圖1，連接AO、BO，求△ABO的面積；
（2）如圖2，在x軸上是否存在點P，使△ABP的面積等于6？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖3，延長AB交x軸于D，將AD繞點A順時針旋轉30°，它的延長線交y軸負半軸于點E，在第四象限的點F．使得x軸、y軸分別平分∠ADF、∠AEF，試求∠DFE的值．

Answer 1

分析 （1）先過點A作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D，得出AC=6，BD=2=CO=DO，進而得到CD=4，最后根據△ABO的面積=梯形ABDC的面積-△ACO的面積-△BDO的面積，進行計算即可；
（2）設P（x，0），分兩種情況進行討論：當點P在直線AB的左側時，△APB的面積=梯形ACDB的面積-△ACP的面積-△BDP的面積；當點P在直線AB的右側時，△APB的面積=△ACP的面積-△ACO的面積-△AOB的面積-△BOP的面積，分別列出關于x 方程，求得x的值即可得到P點坐標；
（3）連接DE，根據三角形內角和定理以及角平分線的定義，求得∠FED+∠FDE=30°，進而根據△DEF中，∠DFE=180°-（∠FED+∠FDE）進行計算，即可得出∠DFE的值．

解答 解：（1）如圖1，過點A作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D，則AC=6，BD=2=CO=DO，
∴CD=4，
∴△ABO的面積=梯形ABDC的面積-△ACO的面積-△BDO的面積
=$\frac{1}{2}$（2+6）×4-$\frac{1}{2}$×2×6-$\frac{1}{2}$×2×2
=16-6-2
=8；

（2）存在點P，使△ABP的面積等于6．
設P（x，0），
如圖所示，當點P在直線AB的左側時，△APB的面積=梯形ACDB的面積-△ACP的面積-△BDP的面積，
∵△ABP的面積等于6，
∴6=$\frac{1}{2}$（2+6）×4-$\frac{1}{2}$×6×（x+2）-$\frac{1}{2}$×2×（2-x），
解得x=1，
∴P（1，0）；
如圖所示，當點P在直線AB的右側時，△APB的面積=△ACP的面積-△ACO的面積-△AOB的面積-△BOP的面積，
∵△ABP的面積等于6，△ABO的面積=8，
∴6=$\frac{1}{2}$×6×（x+2）-$\frac{1}{2}$×2×6-8-$\frac{1}{2}$×2×x，
解得x=7，
∴P（7，0），
綜上所述，點P的坐標為（1，0）或（7，0）；

（3）如圖3，連接DE，
∵∠A=30°，
∴∠AED+∠ADE=180°-30°=150°，
∵∠DOE=90°，
∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠AEO+∠ADO=150°-90°=60°，
∵x軸、y軸分別平分∠ADF、∠AEF，
∴∠OEF=∠AEO，∠ODF=∠ADO，
∴∠OEF+∠ODF=∠AEO+∠ADO=60°，
又∵∠OED+∠ODE=90°，
∴∠FED+∠FDE=90°-60°=30°，
∴△DEF中，∠DFE=180°-（∠FED+∠FDE）=180°-30°=150°．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，以及三角形的面積計算公式的綜合應用，解決問題的關鍵是中輔助線構造構造三角形，根據圖形之間的面積關系進行求解．解題時注意：第（3）問也可以通過作輔助線，根據三角形外角性質進行計算求解．