Question

19．如圖，小區A與公路l的距離AC=200米，小區B與公路l的距離BD=400米，已知CD=800米，現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區的路程之和最短，超市應建在哪？
（1）請在圖中畫出點P；
（2）求CP的長度；
（3）求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1：作A關于l的對稱點A′，連接A′B，交l于P，即可得到結果；
（2）如圖2，建立如圖的平面直角坐標系：于是得到A′（0，-200），B′（800，400），設求得直線A′B的解析式：y=$\frac{3}{4}$x-200，當y=0時，即$\frac{3}{4}$x-200=0，求得x=266$\frac{2}{3}$，即可得到結論；
（3）由對稱性得PA+PB的最小值為線段A′B的長，作A′E⊥BE于點E，在Rt△A′BE中，根據勾股定理即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1：作A關于l的對稱點A′，
連接A′B，交l于P，
p即為所求的點；

（2）如圖2，建立如圖的平面直角坐標系：
則A′（0，-200），B′（800，400），
設A′B：y=kx+b，
把A（0，-200），B（800，400）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-200}\\{400=800k+b}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{3}{4}$，b=-200，
∴直線A′B的解析式：y=$\frac{3}{4}$x-200，
當y=0時，即$\frac{3}{4}$x-200=0，
解得：x=266$\frac{2}{3}$，
∴CP為266$\frac{2}{3}$米；

（3）由對稱性得PA+PB的最小值為線段A′B的長，
作A′E⊥BE于點E，在Rt△A′BE中，
A′E=OD=800，BE=BD+DE=BD+OA′=BD+AO=400+200=600，
∴A′B=$\sqrt{A′{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{80{0}^{2}+60{0}^{2}}$=1000，
∴PA+PB的最小值=1000．

點評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，作圖-應用與設計作圖，坐標與圖形的性質，確定出P的位置是本題的關鍵．