Question

9．如圖，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經過△OAB的頂點A和OB的中點C，AB∥x軸，點A的坐標為（3，4），則△OAB的面積為18．

Answer 1

分析 將A坐標代入反比例解析式求出k的值即可；過點C作CN⊥y軸，垂足為N，延長BA，交y軸于點M，得到CN與BM平行，進而確定出三角形OCN與三角形OBM相似，根據C為OB的中點，得到相似比為1：2，確定出三角形OCN與三角形OBM面積比為1：4，利用反比例函數k的意義確定出三角形OCN與三角形AOM面積，根據相似三角形面積之比為1：4，求出三角形AOB面積即可．

解答 解：∵點A（3，4）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=3×4=12．
過點C作CN⊥y軸，垂足為N，延長BA，交y軸于點M，
∵AB∥x軸，
∴BM⊥y軸，
∴MB∥CN，
∴△OCN∽△OBM，
∵C為OB的中點，即$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△OCN}}{{S}_{△OBM}}$=（$\frac{1}{2}$）²，
∵A，C都在雙曲線y=$\frac{12}{x}$上，
∴S_△OCN=S_△AOM=6，
由$\frac{6}{6+{S}_{△AOB}}$=$\frac{1}{4}$，
得：S_△AOB=18，
則△AOB面積為18．
故答案是：18．

點評 此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，以及反比例函數k的意義，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．