Question

8．如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作等腰直角三角形ADE，∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°，AD=AE．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CE、BD之間的位置關系為CE⊥BD  ，數量關系為CE=BD  ．（不用證明）
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．
試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CE⊥BD（點C、E重合除外）？畫出相應的圖形．

Answer 1

分析 （1）①根據∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，運用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形性質得出對應邊相等，對應角相等，即可得到線段CE、BD之間的關系；②先根據“SAS”證明△ABD≌△ACE，再根據全等三角形性質得出對應邊相等，對應角相等，即可得到①中的結論仍然成立；
（2）先過點A作AG⊥AC交BC于點G，畫出符合要求的圖形，再結合圖形判定△GAD≌△CAE，得出對應角相等，即可得出結論．

解答 解：（1）①CE與BD位置關系是CE⊥BD，數量關系是CE=BD．
理由：如圖乙，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．
故答案為：CE⊥BD； CE=BD．

②當點D在BC的延長線上時，①的結論仍成立．
如圖丙，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC，
∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即 CE⊥BD；

（2）如圖丁所示，當∠BCA=45°時，CE⊥BD．
理由：過點A作AG⊥AC交BC于點G，
∴AC=AG，∠AGC=45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD．

點評 此題為三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質及等腰直角三角形的性質，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等，對應角相等進行求解．