Question

17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E．
（1）如圖1，連接CE，求證：△BCE是等邊三角形；
（2）如圖2，點M為CE上一點，連結BM，作等邊△BMN，連接EN，求證：EN∥BC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BD是△ABC的角平分線可知：∠EBC=60°，再由△BCD≌△BED，可知BC=EB．
（2）因為∠CEB=∠MNB=60°，所以E、M、B、N四點共圓，由圓周角定理即可求出得出∠NEB=∠NMB=60°，從而可知∠NEB=∠EBC=60°．

解答 解：（1）∵BD是△ABC的角平分線，
∠ACB=∠DEB=90°，
∴CD=DE，
在Rt△BCD與Rt△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BED（HL），
∴BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形
∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△BCE是等邊三角形．
（2）由題意可知：∠CEB=∠MNB=60°，
∴E、M、B、N四點共圓，
由圓周角定理即可得出∠NEB=∠NMB=60°，
∴∠NEB=∠EBC=60°，
∴EN∥BC

點評 本題考查全等三角形的判定與性質，涉及等腰三角形、等邊三角形的判定與性質，直角三角形的性質，綜合程度較高．