Question

19．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，求△BEQ周長的最小值？

Answer 1

分析 由正方形的性質得出點B與點D關于直線AC對稱，得出DE的長即為DQ+QE的最小值，由勾股定理求出DE，即可得出結果．

解答 解：連接DQ，如圖所示：

∵EB=AB-AE=1是定值，
∴QE+QB最小時，△QBE的周長最小，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點B與點D關于直線AC對稱，
∴QE+QB=QE+DQ，
∴當D、Q、E共線時，DQ+QE最小，最小值為DE，
∵∠DAE=90°，AB=AD=4，AE=3，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴QB+QE的最小值為DE，最小值為5，
∴△BEQ的最小值=5+1=6．

點評 本題考查了正方形的性質、最小值問題、勾股定理、軸對稱的性質；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．