Question

14．如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點D與點B重合，點C落在點C′的位置．
（1）若∠1：∠3=3：4，求∠3的度數．
（2）若AB=4.8，AD=6.4，動點P從B點出發以每秒1個單位的速度沿B→E→F的路線運動至F結束，當時間t等于多少時，點P到△BEF的兩邊的距離相等？

Answer 1

分析 （1）可以假設∠1=3x，∠3=4x，由∠3+∠FEB+∠2=180°，∠2=∠FEB=3x，列出方程即可解決問題．
（2）設AE=a，則EB=ED=6.4-x，在Rt△AEB中，由AB²+AE²=EO²，可得4.8²+x²=（6.4-x）²，解方程即可得點E的坐標，作EH⊥OC于H，則四邊形AOHE是矩形，EH=OA=4.8，先求出EO、OF，分兩種情形①當點P在OE上時，作P₁M⊥EF于M，P₁N⊥OF于N，根據$\frac{{S}_{△EF{P}_{1}}}{{S}_{△OF{P}_{1}}}$=$\frac{\frac{1}{2}EF•{P}_{1}M}{\frac{1}{2}OF•{P}_{1}N}$=$\frac{{P}_{1}E}{{P}_{1}O}$=$\frac{6}{5}$，由此即可求出OP．②當點P在EF上時，由OE=OF，可知EP₂=FP₂時，點P到OE，OF兩邊距離相等，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵∠1：∠3=3：4，
∴可以假設∠1=3x，∠3=4x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=90°，
∴∠2=∠1=3x，
∵∠3+∠FEB+∠2=180°，∠2=∠FEB=3x，
∴4x+3x+3x=180°，
∴x=18°，
∴∠3=4x=72°．

（2）設AE=a，則EB=ED=6.4-x，
在Rt△AEB中，∵AB²+AE²=EO²，
∴4.8²+x²=（6.4-x）²，
∴x=1.4，
∴點E坐標（1.4，4.8）．
作EH⊥OC于H，

則四邊形AOHE是矩形，EH=OA=4.8，
由（2）可知，EO=$\sqrt{A{E}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{4．{8}^{2}+1．{4}^{2}}$=5，
∵∠OEF=∠1，
∴OE=OF=5，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{4．{8}^{2}+3．{6}^{2}}$=6．
①當點P在OE上時，作P₁M⊥EF于M，P₁N⊥OF于N，
如果P₁M=P₁N，
則有$\frac{{S}_{△EF{P}_{1}}}{{S}_{△OF{P}_{1}}}$=$\frac{\frac{1}{2}EF•{P}_{1}M}{\frac{1}{2}OF•{P}_{1}N}$=$\frac{{P}_{1}E}{{P}_{1}O}$=$\frac{6}{5}$，
∴OP₁=$\frac{5}{11}$×5=$\frac{25}{11}$，
∴t=$\frac{25}{11}$s時．
②當點P在EF上時，∵OE=OF，
∴EP₂=FP₂時，點P到OE，OF兩邊距離相等，
此時t=5+3=8s．
綜上所述，t=$\frac{25}{11}$s或8s時，點P到△BEF的兩邊的距離相等．

點評 本題考查矩形的性質、坐標與圖形的性質、勾股定理、角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是熟練應用所學知識，學會利用面積法求有關線段．