Question

13．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一個動點（含端點B，不含端點C），連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE，在點D移動的過程中，BE的取值范圍是$\sqrt{13}$-2≤BE＜3．

Answer 1

分析 由∠AEC=90°知E在以AC為直徑的⊙M的$\widehat{CN}$上（不含點C、可含點N），從而得BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），作MF⊥AB于F，證△AMF∽△ABC得$\frac{MF}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，即可知MF=$\frac{6}{5}$、AF=$\sqrt{A{M}^{2}-M{F}^{2}}$=$\frac{8}{5}$、BF=$\frac{17}{5}$、BM=$\sqrt{13}$，從而得BE長度的最小值BE′=BM-ME′=$\sqrt{13}$-2；由BE最長時即E與C重合，根據BC=3且點E與點C不重合，得BE＜3，從而得出答案．

解答 解：如圖，

由題意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC為直徑的⊙M的$\widehat{CN}$上（不含點C、可含點N），
∴BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），
∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴$\frac{MF}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{MF}{3}=\frac{2}{5}$，得MF=$\frac{6}{5}$，
∴AF=$\sqrt{A{M}^{2}-M{F}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
則BF=AB-AF=$\frac{17}{5}$，
∴BM=$\sqrt{M{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴BE長度的最小值BE′=BM-ME′=$\sqrt{13}$-2，
BE最長時，即E與C重合，
∵BC=3，且點E與點C不重合，
∴BE＜3，
綜上，$\sqrt{13}$-2≤BE＜3，
故答案為：$\sqrt{13}$-2≤BE＜3．

點評 本題主要考查圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識點，根據題意得出BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點是解題的關鍵．