Question

1．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點
M，N，若AB=mAM，AC=nAN，則m+n=2．

Answer 1

分析 過點B作BD∥AC，首先證明△BDO≌△CNO，則BD=NC．由題意可知BM=（1-m）AM，BD=NC=（n-1）AN，接下來證明△MBD∽△MAN由相似三角形的性質列出關于m、n的比例式，整理比例式可得到m+n的值．

解答 解：過點B作BD∥AC．

∵BD∥CN，
∴∠DBO=∠C．
在△BDO和△CNO中$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠C}\\{BO=OC}\\{∠BOD=∠CON}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△CNO．
∴BD=NC．
∵AB=mAM，AC=nAN，
∴BM=（1-m）AM，BD=NC=（n-1）AN．
∵BD∥CN，
∴△MBD∽△MAN．
∴$\frac{BD}{AN}=\frac{MB}{AM}$，即$\frac{（n-1）AN}{AN}=\frac{（1-m）AM}{AM}$，
整理得：n-1=1-m，
移項、合并同類項得：m+n=2．
故答案為：2．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．