Question

2．探究學(xué)習(xí)：
已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等腰直角
三角形ACD和等腰直角三角形BCE，∠ACD=∠BCE=90°，連接AE、BD．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，線段AE 與BD的數(shù)量關(guān)系是AE=BD，位置關(guān)系是AE⊥BD．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外，等腰直角三角形ECB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2位置，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，在（1）基礎(chǔ)上等腰直角三角形BCE繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3位置，取等腰直角三角形ACD的斜邊AD的中點(diǎn)M，連接CM交BE于點(diǎn)G，試探究BG、GH、HE的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明思路．

Answer 1

分析 （1）延長AE交BD于F，根據(jù)△ACE≌△DCB，即可得出AE=DB，∠CAE=∠CDB，進(jìn)而得到∠DFE=90°，即AE⊥DB；
（2）根據(jù)△ACD和△BCE是等腰直角三角形，判定△ACE≌△DCB （SAS），即可得到AE=BD，∠EAC=∠BDC，再延長AE交BD于點(diǎn)F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出∠DFA=90°，即可得到AE⊥BD；
（3）過點(diǎn)C作CF⊥CG，且CF=CG，連接HF、EF，判定△BCG≌△ECF（SAS），即可得出BG=EF，∠CBG=∠CEF=45°，再判定△GCH≌△FCH（SAS），即可得到GH=FH，在Rt△HEF中，根據(jù)勾股定理得出EF²+HE²=FH²，進(jìn)而得到BG²+HE²=GH²．

解答 解：（1）如圖1，延長AE交BD于F，
根據(jù)等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，
可得AC=DC，∠ACE=∠DCB，EC=BC，
易得△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，
又∵∠ACE=90°，∠AEC=∠DEF，
∴∠DFE=90°，
∴AF⊥DB，即AE⊥DB，
故線段AE 與BD的數(shù)量關(guān)系是AE=BD，位置關(guān)系是 AE⊥BD．
故答案為：AE=BD，AE⊥BD．


（2）結(jié)論AE=BD，AE⊥BD仍然成立．
證明：∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，
∴AC=CD，CE=CB，
又∵∠ACE+∠ECD=90°，∠BCD+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB 中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB （SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠BDC，
如圖2，延長AE交BD于點(diǎn)F，
∵∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
又∵∠ADF+∠DAF+∠DFA=180°，
∴∠ADC+∠BDC+∠DAF+∠DFA=180°，
∴∠ADC+∠EAC+∠DAF+∠DFA=180°，
∴∠ADC+∠DAC+∠DFA=180°，
∴90°+∠DFA=180°，
∴∠DFA=90°，
∴AE⊥BD；

（3）BG、GH、HE的數(shù)量關(guān)系是 BG²+HE²=GH²．
證明：如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥CG，且CF=CG，連接HF、EF．
∵CF⊥CG，CE⊥CB，
∴∠BCG=∠ECF，
在△BCG和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CG}\\{∠BCG=∠ECF}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△ECF（SAS），
∴BG=EF，∠CBG=∠CEF=45°，
∴∠HEF=∠HEC+∠CEF=90°，
又∵△ACE≌△DCB，
∴∠ACE=∠DCB，
∴∠FCH=∠ACE+∠ECF=∠DCB+∠BCG=45°，
∴∠GCH=∠FCH，
在△GCH和△FCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CG}\\{∠GCH=∠FCH}\\{CH=CH}\end{array}\right.$，
∴△GCH≌△FCH（SAS），
∴GH=FH，
∵在Rt△HEF中，EF²+HE²=FH²，
∴BG²+HE²=GH²．

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形以及全等三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°以及全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)．