Question

（本小題滿分12分）對于二次函數y=x²－3x+2和一次函數y=－2x+4，把y=t（x²－3x+2）+（1－t）（－2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線L.現有點A（2，0）和拋物線L上的點B（－1，n），請完成下列任務：

【嘗試】

（1）當t=2時，拋物線y=t（x²－3x+2）+（1－t）（－2x+4）的頂點坐標為 ；

（2）判斷點A是否在拋物線L上；

（3）求n的值；

【發現】

通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線L總過定點，坐標為 .

【應用】

二次函數是二次函數y=x²－3x+2和一次函數y=－2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由

 

Answer 1

（1）（1，﹣2）；（2）點A（2，0）在拋物線E上；（3）n=6；（4）拋物線E必過定點（2，0）、（﹣1，6）；（5）滿足條件的所有t的值為：﹣，，﹣，

【解析】

試題分析：【嘗試】（1）將t的值代入“再生二次函數”中，通過配方可得到頂點的坐標；

（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；

（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．

【發現】將拋物線E展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數值產生影響），即可求出這個定點的坐標．

【應用1】將【發現】中得到的兩個定點坐標代入二次函數y=﹣3x2+5x+2中進行驗證即可．

【應用2】該題的關鍵是求出C、D的坐標；首先畫出相應的圖形，過C、D作坐標軸的垂線，通過構建相似三角形或全等三角形來求解．在求得C、D的坐標后，已知拋物線E必過A、B，因此只需將C或D的坐標代入拋物線E的解析式中，即可求出符合條件的t值。

試題解析：【嘗試】（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，

∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，﹣2）．

（2）將x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，

∴點A（2，0）在拋物線E上．

（3）將x=﹣1代入拋物線E的解析式中，得：

n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．

【發現】將拋物線E的解析式展開，得：

y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4

∴拋物線E必過定點（2，0）、（﹣1，6）．

【應用1】將x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即點A在拋物線上．

將x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，計算得：y=﹣6≠6，

即可得拋物線y=﹣3x2+5x+2不經過點B，

二次函數y=﹣3x2+5x+2不是二次函數y=x2﹣3x+2和一次函數y=﹣2x+4的一個“再生二次函數”．

【應用2】如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2，過點B作BK⊥y軸于點K，過B作BM⊥x軸于點M，

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，

則：，即，求得 C1K=，所以點C1（0，）．

易知△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1=，

∴點D1（3，）．

易知△OAD2∽△GAD1，由AG=1，OA=2，GD1=，求得 OD2=1，∴點D2（0，﹣1）．

易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，所以點C2（﹣3，5）．

∵拋物線E總過定點A（2，0）、B（﹣1，6），

∴符合條件的三點可能是A、B、C或A、B、D．

當拋物線E經過A、B、C1時，將C1（0，）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），求得t1=﹣；

當拋物線E經過A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2時，可分別求得t2=，t3=﹣，t4=．

∴滿足條件的所有t的值為：﹣，，﹣，．

考點：二次函數綜合題