Question

16．已知線段AB=12，CD=6，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側，C在D的左側）．
（1）當D點與B點重合時，AC=6；
（2）點P是線段AB延長線上任意一點，在（1）的條件下，求PA+PB-2PC的值；
（3）M、N分別是AC、BD的中點，當BC=4時，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）根據題意即可得到結論；
（2）由（1）得AC=$\frac{1}{2}$AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，根據線段的和差即可得到結論；
（3）需要分類討論：①如圖1，當點C在點B的右側時，根據“M、N分別為線段AC、BD的中點”，先計算出AM、DN的長度，然后計算MN=AD-AM-DN；②如圖2，當點C位于點B的左側時，利用線段間的和差關系求得MN的長度．

解答 解：（1）當D點與B點重合時，AC=AB-CD=6；
故答案為：6；

（2）由（1）得AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵點P是線段AB延長線上任意一點，
∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=$\frac{1}{2}$AB+PB，
∴PA+PB-2PC=AB+PB+PB-2（$\frac{1}{2}$AB+PB）=0；

（3）如圖1，∵M、N分別為線段AC、BD的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB+BC）=8，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD+BC）=5，
∴MN=AD-AM-DN=9；
如圖2，∵M、N分別為線段AC、BD的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB-BC）=4，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD-BC）=1，
∴MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9．

點評 本題考查了一元一次方程的應用，比較線段的長短．利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵．