Question

6．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG，EG．
（1）試猜想線段CE和BG的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）填空：△ABC與△AEG面積的關(guān)系S_△ABC=S_△AEG；
（3）如圖2，學(xué)校教學(xué)樓前的一個(gè)六邊形花圃被分成七個(gè)部分，分別種上不同品種的花卉，已知△CDG是直角三角形，∠CGD=90°，DG=3m，CG=4m，CD=5m，四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，六邊形花圃ABIHFE的面積為74m²．

Answer 1

分析 （1）易證∠EAC=∠BAG，即可證明△EAC≌△BAG，可得CE=BG，∠AEC=ABG，即可證明CE⊥BG；
（2）先判斷出∠EAH=∠BAC，從而△EHA≌△BCA，即可得出EH=BC，最后用三角形的面積公式計(jì)算即可得出結(jié)論；
（3）由（2）結(jié)論得出S_△BCI=S_△CDG，S_△ADE=S_△CDG，而△CDG和△FGH面積相等，最后用求得七部分面積的和即可．

解答 解：（1）線段CE和BG的數(shù)量及位置關(guān)系：CE=BG，CE⊥BG．
證明：∵∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=BA}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=ABG，
∵∠AEC+∠APE=90°，∠APE=∠BPC，
∴∠BPC+∠ABG=90°，
∴CE⊥BG；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AG交GA延長(zhǎng)線于H，
∴∠EHA=∠90°=∠BCA，
∵∠EAH+∠BAH=90°，∠BAC+∠BAH=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
在△EHA和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHA=∠BCA}\\{∠EAH=∠BAC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△EHA≌△BCA（AAS），
∴EH=BC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$AC×EH，S_△AGE=$\frac{1}{2}$AG×EH=$\frac{1}{2}$AC×EH，而AC=AG，
∴△ABC與△AEG面積相等．
故答案為：S_△ABC=S_△AEG；

（3）如圖2，∵四邊形ABCD，CIHG、GFED均為正方形，∠CGD=90°，
∴CG=GH=4，DG=FG=3，△CDG與△HGF全等，
同（2）的方法可得，S_△BCI=S_△CDG，S_△ADE=S_△CDG
∴S_{六邊形ABIHFE}
=S_{正方形ABCD}+S_△BCI+S_{正方形CIHG}+S_△FGH+S_{正方形DEFG}+S_△ADE+S_△CDG
=S_{正方形ABCD}+S_△CDG+S_{正方形CIHG}+S_△FGH+S_{正方形DEFG}+S_△CDG+S_△CDG
=S_{正方形ABCD}+S_{正方形CIHG}+S_△FGH+S_{正方形DEFG}+3S_△CDG
=CD²+CG²+$\frac{1}{2}$GH×FG+DG²+3×$\frac{1}{2}$CG×DG
=5²+4²+$\frac{1}{2}$×4×3+3²+3×$\frac{1}{2}$×4×3
=25+16+6+9+18
=74（m²）．
故答案為：74m²．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，三角形的面積公式，正方形的面積公式的綜合應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用等底等高的三角形面積相等，得出S_△ABC=S_△AGE．