Question

19．如圖，四邊形ABDC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，且AB∥CD、過點(diǎn)A作⊙O的切線AE與DC的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）若AE=12，CD=10，求⊙O半徑的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)證明∠EAC=∠ABC，根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)和等量代得到∠EAC=∠ACB，從而根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行的判定得到AE∥BC，結(jié)合已知AB∥CD即可判定四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）根據(jù)切割線定理求得EC=8，根據(jù)對稱性得AO垂直平分BC，再用勾股定理列式求解即可．

解答 （1）證明：∵AE與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）解：如圖，連接AO，交BC于點(diǎn)G，連接OC，
∵AE是⊙O的切線，
由切割線定理得，AE²=EC•DE，
∵AE=12，CD=10，
∴12²=CE（CE+10），解得：CE=8，（已舍去負(fù)數(shù)），
由（1）知，四邊形ABCE是平行四邊形，
∴AC=AB=CE=8，BC=AE=12，
又根據(jù)對稱性和垂徑定理，得AO垂直平分BC，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=6，
在Rt△ACG中，AC=8，CG=6，
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
在Rt△OCG中，OC²-（OC-AG）²=CG²，
∴OC²-（OC-2$\sqrt{7}$）²=36，
∴OC=$\frac{16\sqrt{7}}{7}$．
∴⊙O半徑的長為$\frac{16\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．