Question

2．閱讀下列材料，并解決后面的問題．
材料：我們知道，n個相同的因數a相乘$\underset{\underbrace{a•a…a}}{n個}$記為aⁿ，如2³=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為log₂8（即log₂8=3）．　　
一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為log_ab（即log_ab=n），如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log₃81（即log₃81=4）．
（1）計算以下各對數的值：log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6．
（2）通過觀察（2）中三數4、16、64之間滿足怎樣的關系式？log₂4、log₂16、log₂64之間又滿足怎樣的關系式？
（3）由（2）題猜想，你能歸納出一個一般性的結論嗎？
log_aM+log_aN=log_aMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），
（4）根據冪的運算法則：a^m•aⁿ=a^m+n以及對數的定義證明（3）中的結論．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以得到題目中所求式子的值；
（2）根據題目中的式子可以求得它們之間的關系；
（3）根據題意可以猜想出相應的結論；
（4）根據同底數冪的乘法和對數的性質可以解答本題．

解答 解：（1）log₂4=log₂2²=2，log₂16=log₂2⁴=4，log₂64=log₂2⁶=6，
故答案為：2，4，6；
（2）由題意可得，
4×16=64，log₂4、log₂16、log₂64之間滿足的關系式是log₂4+log₂16=log₂64；
（3）猜想的結論是：log_aM+log_aN=log_aMN，
故答案為：log_aMN；
（4）證明：設log_aM=m，log_aN=n，
∴M=a^m，N=aⁿ，
∴MN=a^m+n，
∴log_aM+log_aN=log_aMN．

點評 本題考查同底數冪的乘法、新定義，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．