Question

20．如圖（1），在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點A（-4，0），與y軸交于點B（0，4）．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）在x軸上有一點P，點P在直線AB的垂線段為PC，C為垂足，且PC=$\sqrt{2}$，求點P的坐標；
（3）如圖（2），將原拋物線向左平移，使平移后的拋物線過原點，與原拋物線交于點D，在平移后的拋物線上是否存在點E，使S_△APE=S_△ACD？若存在，請求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點的坐標可求得解析式；
（2）由OA=OB=4知∠OAB=∠OBA=45°，根據sin∠PAC=$\frac{PC}{PA}$、PC=$\sqrt{2}$可得PA的長，從而由OP=OA-PA或OP=OA+AP得出答案；
（3）由平移后的拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-3x得出D（-2，4），分點P在AO上和點P在OA延長線上利用割補法求得△ACD的面積為1，設點E（a，b），根據S_△APE=S_△ACD得 $\frac{1}{2}$×2×|b|=1．即|-$\frac{1}{2}$a²-3a|=1，解方程即可得出答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c過點A（-4，0），B（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的函數解析式是y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．

（2）∵A（-4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
設PC⊥AB，則∠ACP=90°，PC=$\sqrt{2}$．

Rt△ACP中，sin∠PAC=$\frac{PC}{PA}$，
∴PA=$\frac{\sqrt{2}}{sin45°}$=2．
∴OP=OA-PA=2或OP=OA+AP=6．
∴點P的坐標為：P₁（-2，0），P₂（-6，0）．

（3）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4向左平移后過原點，
∴平移后的拋物線的函數解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-3x．
由-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$x²-3x．
解得  x=-2．
∴y=-$\frac{1}{2}$×（-2）²-3×（-2）=4．
∴點D的坐標為（-2，4）．
如圖2，①當點P在AO上時，設P₁C₁⊥AB，過C₁作C₁N⊥x軸，垂足為N，

在Rt△AC₁P₁中，∵∠C₁AP₁=45°，AP₁=2，
∴AC₁=P₁C₁=$\sqrt{2}$．
∴AN=NC₁=1．
∴點C₁的坐標為（-3，1）．
∴${S}_{△A{C}_{1}D}$=${S}_{△AD{P}_{1}}$-${S}_{△A{C}_{1}{P}_{1}}$-${S}_{△{C}_{1}D{P}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×4×1=4-1-2=1．
②當點P在OA延長線上時，同理可得點C₂的坐標為（-5，-1）．${S}_{△A{C}_{2}D}$=1，
設點E（a，b），當S_△APE=S_△ACD時，有 $\frac{1}{2}$×2×|b|=1．即|-$\frac{1}{2}$a²-3a|=1．
∴-$\frac{1}{2}$a²-3a=1或-$\frac{1}{2}$a²-3a=-1．
∴a₁=-3+$\sqrt{7}$，a₂=-3-$\sqrt{7}$，a₃=-3+$\sqrt{11}$，a₄=-3-$\sqrt{11}$．
∴存在點E，使S_△APE=S_△ACD，點E的坐標為：（-3+$\sqrt{7}$，1）或（-3-$\sqrt{7}$，-1）或（-3+$\sqrt{11}$，-1）或（-3-$\sqrt{11}$，-1）．

點評 本題主要考查二次函數的綜合問題，熟練掌握待定系數法求函數解析式、三角函數的應用及割補法求三角形的面積、解絕對值方程的能力是解題的關鍵．