Question

16．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點E是線段BC上的一個動點（不與B、C重合），過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）根據拋物線的解析式求得B點的坐標，然后根據待定系數法求得直線BC的解析式，可設出點E的坐標，則可表示出點F的坐標，進而表示出EF的長度，則可表示出△CBF的面積，從而可表示出四邊形CDBF的面積，利用二次函數的性質，可求得其最大值及此時E點的坐標；
（3）可設出P點坐標，從而可表示出PC、PD的長，由條件可得PC=CD或PD=CD，可得到關于P點坐標的方程，可求得點P的坐標．

解答 解：
（1）拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，A（-1，0），C（0，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）令y=0，則-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），則F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
則EF=（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2） ²+2，
∴S_△BFC=$\frac{1}{2}$EF×4=2EF=-（m-2）²+4=-m²+4m，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
∴BD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•OC=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四邊形CDBF}=S_△BFC+S_△BCD=-m²+4m+$\frac{5}{2}$=-（m-2）²+$\frac{13}{2}$，
∵-1＜0，
∴當m=2時，S_{四邊形CDBF}有最大值，最大值為$\frac{13}{2}$，此時E點坐標為（2，1）；
（3）由題意可設P點坐標為（$\frac{3}{2}$，t），
∵D（$\frac{3}{2}$，0），C（0，2），
∴CD=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，PD=|t|，PC=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（t-2）^{2}}$，
∵△PCD是以CD為腰的等腰三角形，
∴有PD=CD或PC=CD，
①當PD=CD時，則有|t|=$\frac{5}{2}$，解得t=±$\frac{5}{2}$，此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
②當PC=CD時，則有$\frac{5}{2}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（t-2）^{2}}$，解得t=0或t=4，當t=0時，點P與點D重合，舍去，
∴t=4，此時點P坐標為（$\frac{3}{2}$，4）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，4）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角形的面積、二次函數的性質、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中用E點坐標表示出四邊形CDBF的面積是解題的關鍵，在（3）中用P點坐標表示出PD、PC的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．