Question

3．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}$x+1交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長，并求出線段PC的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若P是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足0°＜∠PAB≤45°，請直接寫出：
①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍；
②縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P為“巧點(diǎn)”，求“巧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問題．
（2）作PF⊥x軸于F，交AB于E，直線AB交x軸于D．設(shè)P（m，-m²+$\frac{9}{2}$m+1），則E（m，$\frac{1}{2}$m+1），PE=-m²+4m，由△PCE∽△DOA，可得$\frac{PC}{DO}$=$\frac{PE}{AD}$，構(gòu)建二次函數(shù)后即可解決問題．
（3）①如圖2中，取點(diǎn)F（1，4），連接AF、FB，首先證明△FAB是等腰直角三角形，推出∠FAB=45°，設(shè)直線AF交拋物線于P，可得直線AF的解析式為y=3x+1，利用方程組求出∠PAB=45°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)即可解決問題，再根據(jù)對稱性求出P′A⊥PA時(shí)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)即可解決問題．
②觀察圖象可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的范圍3＜y_p≤$\frac{97}{16}$或-$\frac{11}{18}$≤y_P＜3
，所以整數(shù)y_p為4，5，6，0，1，2，又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)$\frac{3}{2}$≤m＜4．推出對應(yīng)的點(diǎn)P有7個(gè)，

解答 解：（1）由題意A（0，1），B（4，3），
把A（0，1），B（4，3）代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-16+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+$\frac{9}{2}$x+1．

（2）作PF⊥x軸于F，交AB于E，直線AB交x軸于D．

由題意D（-2，0），A（0，1），
設(shè)P（m，-m²+$\frac{9}{2}$m+1），則E（m，$\frac{1}{2}$m+1），PE=-m²+4m
∴OA=1，OD=2，AD=$\sqrt{5}$，
∵PF∥OA，
∴∠DAO=∠DEF=∠PEC，
∵∠AOD=∠PCE=90°，
∴△PCE∽△DOA，
∴$\frac{PC}{DO}$=$\frac{PE}{AD}$，
∴$\frac{PC}{2}$=$\frac{-{m}^{2}+4m}{\sqrt{5}}$，
∴PC=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m²-4m），
∵PC=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m²-4m）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m-2）²+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜0，
∴m=2時(shí)，PC有最大值．最大值為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，此時(shí)P（2，6）；

（3）①如圖2中，取點(diǎn)F（1，4），連接AF、FB，

∵A（0，1），B（4，3），
∴AF=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，F(xiàn)B=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AF=FB，AF²+BF²=AB²，
∴△FAB是等腰直角三角形，
∴∠FAB=45°，設(shè)直線AF交拋物線于P，
∴直線AF的解析式為y=3x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+\frac{9}{2}x+1}\\{y=3x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∵A（0，1），
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{11}{2}$），
當(dāng)P′A⊥PA時(shí)，
直線P′A的解析式為y=-$\frac{1}{3}$+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-{x}^{2}+\frac{9}{2}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{29}{6}}\\{y=-\frac{11}{18}}\end{array}\right.$，
∴P′（$\frac{29}{6}$，-$\frac{11}{18}$）
∴觀察圖象可知，滿足條件0°＜∠PAB≤45°的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)$\frac{3}{2}$≤m＜4或4＜m≤$\frac{29}{6}$．

②觀察圖象可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的范圍3＜y_p≤$\frac{97}{16}$或-$\frac{11}{18}$≤y_P＜3
∴整數(shù)y_p為4，5，6，0，1，2，又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)$\frac{3}{2}$≤m＜4或4＜m≤$\frac{29}{6}$．
∴對應(yīng)的點(diǎn)P有7個(gè)，對應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，1，2，4，5，6，6，
∴“巧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為7個(gè)．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．