Question

4．如圖，AB為⊙O直徑，D為BC弧的中點，DE⊥AC于E，
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）已知：CE=2，DE=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）要證明DE是⊙O的切線只要證明OD⊥DE即可；
（2）證明四邊形DECF是矩形得出CE=DF=2，CF=DE=4，設⊙O的半徑為r，則OF=r-2，在Rt△OBF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：連接OD、BC交于點F，如圖所示：
∵D為弧BC的中點，
∴OD⊥BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ECF=∠CFD=90°，
∴∠FDE=90°，即OD⊥DE，
又∵OD為⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴BF=CF，
∵∠CED=∠ECF=∠CFD=90°，
∴四邊形DECF是矩形，
∴CE=DF=2，CF=DE=4，
設⊙O的半徑為r，則OF=r-2，
在Rt△OBF中，由勾股定理得：（r-2）²+4²=r²，
解得：r=5，
即⊙O的半徑為5．

點評 本題考查了切線的判定、圓周角定理、矩形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握切線的判定，由勾股定理得出方程是解決問題（2）的關鍵．