Question

14．已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，銳角∠DBC的正弦值為$\frac{2}{3}$．
求：（1）對角線BD的長；
（2）梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；
（2）過D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根據面積公式求出即可．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵AD=4，BC=9，
∴BD=6；

（2）
過D作DE⊥BC于E，
則∠DEB=90°，
∵銳角∠DBC的正弦值為$\frac{2}{3}$，
∴sin∠DBC=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
∵BD=6，
∴DE=4，
∴梯形ABCD的面積為$\frac{1}{2}$×（AD+BC）×DE=$\frac{1}{2}$×（4+9）×4=26．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，梯形的性質，解直角三角形等知識點，能求出BD的長是解此題的關鍵．