Question

4．以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD、CE．
（1）試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F，試求∠BFC的度數(shù)；
（3）把兩個(gè)等腰直角三角形按如圖2放置，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△EAC與△DAB全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出∠ECA=∠DBA，進(jìn)而解答即可；
（3）根據(jù)（1）（2）中的證明步驟解答即可．

解答 解：（1）CE=BD，理由如下：
∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，
∴AE=AD，AC=AB，
在△EAC與△DAB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}&{\;}\\{∠EAC=∠DAB=90°}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE=BD；
（2）∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，
∴∠BFC=180°-90°=90°；
（3）成立，
∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，
∴AE=AD，AC=AB，
在△EAC與△DAB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}&{\;}\\{∠EAC=∠DAB=90°}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE=BD；
∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，
∴∠BFC=180°-90°=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)．