Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=k₁x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C，與反比例函數y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象在第一象限內交于點B，連結BO．若S_△OBC=1，tan∠BOC=$\frac{1}{3}$．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式；
（2）點P是反比例函數y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）圖象上異于點B的另一點，若S_△PAO=5，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）過B作BE⊥OC于E，由y=k₁x+2，令x=0，得y=2，得到C（0，2），根據三角函數的定義得到B（1，3），把B（1，3）分別代入y=k₁x+2和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$于是得到結論；
（2）由A（-2，0），得到OA=2，設P（a，$\frac{3}{a}$），根據三角形的面積列方程即可得到結論．

解答 解：（1）過B作BE⊥OC于E，
由y=k₁x+2，令x=0，得y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2，
∵S_△OBC=1，
∴BE=1，
∵tan∠BOC=$\frac{BE}{OE}=\frac{1}{OE}$=$\frac{1}{3}$，
∴OE=3，
∴B（1，3），
把B（1，3）分別代入y=k₁x+2和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$得k₁=1，k₂=3，
∴一次函數與反比例函數的解析式分別為：y=x+2，y=$\frac{3}{x}$；
（2）由y=x+2，令y=0，得x=-2，
∴A（-2，0），
∴OA=2，
設P（a，$\frac{3}{a}$），
∵S_△PAO=5，
∴$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{a}$=5，
∴a=$\frac{3}{5}$
∴P（$\frac{3}{5}$，5）．

點評 本題考查了一次函數和反比例函數的交點問題，用待定系數法求函數的解析式，三角形的面積，函數的圖象的應用，解此題的關鍵是能綜合運用知識點進行計算，數形結合思想的應用，難度適中．