Question

（1）如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點G，使DG=BE，連結EF，AG．求證：EF=FG．

（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長．

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD中，

∴∠ABE=∠ADG，AD=AB，

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

∴∠EAG=90°，

在△FAE和△GAF中，

，

∴△FAE≌△GAF（SAS），

∴EF=FG

（2）解：如圖2，過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．

∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．

在△ABM和△ACE中，

∴△ABM≌△ACE（SAS）．

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．

于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．

在△MAN和△EAN中，

∴△MAN≌△EAN（SAS）．

∴MN=EN．

在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．

∴MN²=BM²+NC²．

∵BM=1，CN=3，

∴MN²=1²+3²，

∴MN=