Question

2．如圖，四邊形ABCD為正方形，⊙O過正方形的頂點A和對角線的交點P，分別交AB、AD于點F、E．若⊙O的半徑為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AB=$\sqrt{2}$+1，則$\frac{AE}{ED}$的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連EF，由∠BAD=90°，得到EF為⊙O的直徑，即EF=$\sqrt{3}$，所以AF²+AE²=EF²=（$\sqrt{3}$）²=3，而DE=AF，所以DE²+AE²=EF²=（$\sqrt{3}$）²=3；由AD=AE+ED=AB=$\sqrt{2}$，這樣得到關于DE，AE的方程組，解方程組求出DE，AE，即可得到$\frac{AE}{ED}$的值．

解答 解：連EF，
∵∠BAD=90°，
∴EF為⊙O的直徑，
而⊙O的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{3}$，
∴AF²+AE²=EF²=（$\sqrt{3}$）²=3①，
而DE=AF，
DE²+AE²=3；
又∵AD=AE+ED=AB，
∴AE+ED=$\sqrt{2}$②，
由①②聯立起來組成方程組，解之得：AE=1，ED=$\sqrt{2}$或AE=$\sqrt{2}$，ED=1，
∴$\frac{AE}{ED}$的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了直徑所對的圓周角為直角、圓內接四邊形的性質、正方形的性質以及方程組的解法．