Question

13．如圖，以等腰三角形ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點G，連結AD，并過點D作⊙O的切線DE，交AC于點E．求證：
（1）BD=CD；
（2）DE⊥AC；
（3）CE=EG．

Answer 1

分析 （1）根據直徑所對的圓周角是直角，得到AD⊥BC，再根據等腰三角形三線合一的性質即可證明；
（2）由AO=BO、BD=CD知OD是△ABC的中位線，從而得OD∥AC，根據DE切⊙O于D知OD⊥DE，即可得證；
（3）由AB為⊙O的直徑知BG⊥AC，結合DE⊥AC得DE∥BG，從而根據平行線分線段定理即可得證．

解答 證明：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=CD；

（2）連接OD．

∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE
∵AO=BO、BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC．

（3）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AGB=90°，即BG⊥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE∥BG，
∴$\frac{CE}{EG}$=$\frac{CD}{DB}$=1，
∴CE=EG．

點評 本題主要考查等腰三角形的性質、圓周角定理、切線的性質及平行線分線段定理，熟練掌握直徑所對的圓周角是直角是解題的關鍵．