Question

18．△ABD中，AB=BD，點C在直線BD上，BD=3CD，cos∠CAD=$\frac{5}{6}$，AD=6，則AC=6或$\frac{42}{5}$．

Answer 1

分析 根據點C在直線BD上，分兩種情況進行討論：①當點C在線段BD上時；②當C在BD的延長線上時，分別根據平行線分線段成比例定理，求得AE與AC的數量關系，最后根據AE的長求得AC長．

解答 解：分兩種情況：
①如圖所示，當點C在線段BD上時，過B作BF⊥AD于F，過D作DE⊥AD交AC的延長線于E，

Rt△ADE中，cos∠CAD=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{5}{6}$，即$\frac{6}{AE}$=$\frac{5}{6}$，
∴AE=$\frac{36}{5}$，
∵BD=3CD，DE∥BF，
∴$\frac{CE}{CG}$=$\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
設CE=x，則CG=2x，GE=3x，
∵AB=BD，BF⊥AD，
∴AF=FD，
∴AG=GE=3x，
∴AE=6x，AC=5x，
∴AC=$\frac{5}{6}$AE=$\frac{5}{6}$×$\frac{36}{5}$=6；
②如圖所示，當C在BD的延長線上時，過B作BF⊥AD于F，過C作CE⊥AD交AD的延長線于E，

∵AB=BD，BF⊥AD，
∴AF=FD=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵CE∥BF，BD=3CD，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DC}{DB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{3}$=$\frac{1}{3}$，即DE=1，
∴AE=6+1=7，
∵Rt△ACE中，cos∠CAD=$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{5}{6}$，即$\frac{7}{AC}$=$\frac{5}{6}$，
∴AC=$\frac{42}{5}$．
綜上所述，AC的長為6或$\frac{42}{5}$．
故答案為：6或$\frac{42}{5}$．

點評 本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質以及平行線分線段成比例定理的綜合應用，解決問題的關鍵是畫出圖形進行分類討論，依據平行線分線段成比例定理進行求解．