Question

9．已知關于x的方程x²-（m+n+2）x+2m=0（n≥0）的兩個實數根為α、β，且α≤β．
（1）試用含有α、β的代數式表示m和n；
（2）求證：α≤2≤β；
（3）若點P（α，β）在△ABC的三條邊上運動，且△ABC頂點的坐標分別為A（2，4），B（1，2），C（2，2），問是否存在點P，使m+n=$\frac{13}{4}$？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）因為原方程有兩個實數根，故判別式△=（m+n+2）²-8m=（m+n-2）²+8n≥0，且α+β=m+m+2，αβ=2m，即可得出結論；
（2）因為α≤β，故只需求（2-α）（2-β）≤0即可；
（3）先根據條件確定動點所在的邊，再確定點的坐標．

解答 解：（1）∵α、β為方程x²-（m+n+）x+2m=0（n≥0）的兩個實數根，
∴判別式△=（m+n+2）²-8m=（m+n-2）²+8n≥0，
且α+β=m+n+2，αβ=2m，
于是m=$\frac{1}{2}$αβ，
n=α+β-m-2=α+β-$\frac{1}{2}$αβ-2；
（2）∵（2-α）（2-β）=4-2（α+β）+αβ=-2n≤0（n≥0），
又α≤β，
∴α≤2≤β；
（3）若使m+n=$\frac{13}{4}$成立，只需α+β=m+n+2=$\frac{13}{4}+2$=$\frac{21}{4}$①，
①當點M（α，β）在BC邊上運動時，
由B（1，2），C（2，2），
得1≤α≤2，β=2，
而α=$\frac{21}{4}$-β=$\frac{13}{4}$＞2，
故在BC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（$\frac{13}{4}$，2）所以不符合題意舍去；
即在BC邊上不存在滿足條件的點；
②當點M（α，β）在AC邊上運動時，
由A（2，4），C（2，2），
得α=2，2≤β≤4，
此時β=$\frac{21}{4}$-α=$\frac{13}{4}$，
又因為2＜$\frac{13}{4}$＜4，
故在AC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（2，$\frac{13}{4}$）；
③當點M（α，β）在AB邊上運動時，
由A（2，4），B（1，2），
得1≤α≤2，2≤β≤4，
由平面幾何知識得，$\frac{2-α}{2-1}=\frac{4-β}{4-2}$，
于是β=2α②，
聯立①②，解得α=$\frac{7}{4}$，β=$\frac{7}{2}$，
又因為1＜$\frac{7}{4}$＜2，2＜$\frac{7}{2}$＜4，
故在AB邊上存在滿足條件的點，其坐標為（$\frac{7}{4}$，$\frac{7}{2}$）．
綜上所述，當點M（α，β）在△ABC的三條邊上運動時，存在點（2，$\frac{13}{4}$）和點（$\frac{7}{4}$，$\frac{7}{2}$），使m+n=$\frac{13}{4}$成立．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了將根與系數的關系、根的判別式與動點問題相結合，體現了運動變化的觀點，分類類討論是解本題的關鍵．