Question

4．如圖，已知拋物線y=-x²+（m-1）x+m（其中0＜m＜1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線l，設(shè)P為對(duì)稱軸上的點(diǎn)，連接PA、PC
（1）∠ABC的度數(shù)為45°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）
（2）若PA=PC，求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）
（3）在（2）的條件下，PC交x軸于點(diǎn)D，將△ADC以直線AC為軸翻折，若點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D′正好落在直線l上，其此時(shí)拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，y=0求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．
（2）由題意得，拋物線的對(duì)稱軸為：x=$\frac{-1+m}{2}$，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{-1+m}{2}$，n），根據(jù)PA=PC，列出方程求出n即可．
（3）如圖，設(shè)對(duì)稱軸與AC交于點(diǎn)G交x軸于F，作PE⊥y軸于E．由Rt△AFP≌△Rt△CEP，推出∠APF=∠CPE，推出∠APC=∠EPF=90°，推出∠PAC=∠PCA=∠ACD′=45°，推出CD′∥PA，得到$\frac{CD′}{PA}$=$\frac{CG}{GA}$，由FG∥CO，推出$\frac{CG}{AG}$=$\frac{OF}{FA}$，由CD=CD′，推出$\frac{CD}{PA}$=$\frac{OF}{AF}$，設(shè)直線PC的解析式為y=kx+m，把P（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m-1}{2}$）代入得k=$\frac{m+1}{1-m}$，得到y(tǒng)=$\frac{m+1}{1-m}$x+m，令y=0，得x=$\frac{m（m-1）}{m+1}$，推出D[$\frac{m（m-1）}{m+1}$，0]，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）令x=0，則y=m，C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，m），
令y=0，則x²+（1-m）x-m=0，
解得：x₁=-1，x₂=m，
∵0＜m＜1，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，0），
∴OB=OC=m，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；
故答案為45°，（-1，0）．

（2）由題意得，拋物線的對(duì)稱軸為：x=$\frac{-1+m}{2}$，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（$\frac{-1+m}{2}$，n），
∵PA=PC，
∴（$\frac{-1+m}{2}$+1）²+n²=（$\frac{-1+m}{2}$）²+（m-n）²，
解得n=$\frac{-1+m}{2}$．
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m-1}{2}$）．

（3）如圖，設(shè)對(duì)稱軸與AC交于點(diǎn)G交x軸于F，作PE⊥y軸于E．

∵PF=PE=$\frac{m-1}{2}$，
在Rt△AFP和Rt△CEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PC}\\{PF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFP≌△Rt△CEP，
∴∠APF=∠CPE，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∴∠PAC=∠PCA=∠ACD′=45°，
∴CD′∥PA，
∴$\frac{CD′}{PA}$=$\frac{CG}{GA}$，
∵FG∥CO，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{OF}{FA}$，∵CD=CD′，
∴$\frac{CD}{PA}$=$\frac{OF}{AF}$，
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+m，把P（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m-1}{2}$）代入得k=$\frac{m+1}{1-m}$，
∴y=$\frac{m+1}{1-m}$x+m，令y=0，得x=$\frac{m（m-1）}{m+1}$，
∴D[$\frac{m（m-1）}{m+1}$，0]，
∴$\frac{\sqrt{{m}^{2}+[\frac{m（m-1）}{m+1}]^{2}}}{\sqrt{（\frac{m-1}{2}+1）^{2}+（\frac{m-1}{2}）^{2}}}$=$\frac{\frac{1-m}{2}}{\frac{m-1}{2}+1}$，
∴$\sqrt{\frac{4{m}^{2}}{（m+1）^{2}}}$=$\frac{1-m}{m+1}$，
∵0＜m＜1，
∴$\frac{2m}{m+1}$=$\frac{1-m}{m+1}$，
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式．等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．