Question

3．在?ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，且EF=2，則AB的長為3或5．

Answer 1

分析 根據平行線的性質得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代換得到∠DFC=∠FDC，根據等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根據已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到AB=CD，AD=BC，即可得到結論．

解答 解：①如圖1，在?ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=8，
∴AB=5；
②在?ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，
∴AB=3；
綜上所述：AB的長為3或5．
故答案為：3或5．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是判斷出BA=BE=CF=CD．