Question

12．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點P是AB上一點，以CP為斜邊作等腰直角△CPE，連接AE并延長交BC的延長線于點D
（1）試判斷∠BPC與∠ECD的關系，并說明理由；
（2）如圖2，過C點作CM⊥AB于M點，連接ME，試證明ME垂直平分AC；
（3）在點P在AB上運動的過程中（P不與A、B重合），AP、BP、CP之間存在著某種數量關系，請直接寫出它們之間的數量關系（結論不需要證明）

Answer 1

分析 （1）由∠PCD=∠B+∠BPC=∠PCE+∠ECD可知，只要證明∠B=∠PCE=45°即可．
（2）如圖2中，作EK⊥AB于K，EH⊥CM于H．由△EKP≌△EHC，推出EK=EH，因為EK⊥AB于K，EH⊥CM于H．所以∠EMK=∠EMC=45°，推出∠AME=∠B，推出ME∥BC，由CA=CB，CM⊥AB，推出AM=BM，CM=AM=BM，推出AE=ED，在Rt△ACD中，EC=AE=ED，此MA=MC，由此推出ME垂直平分線段AC．
（3）結論：PB²+AP²=2PC²．如圖3中，將△ACP繞點C逆時針旋轉90°得到△BCN．由∠ABC=∠CBN=45°，推出∠PBN=90°，推出PB²+BN²=PN²，由PC=CN，∠ACP=∠BCN，推出∠PCN=∠ACB=90°，推出PN=$\sqrt{2}$PC，AN=BN，即可推出PB²+AP²=2PC²．

解答 （1）解：結論：∠BPC=∠ECD．
理由：如圖1中，

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵EP=EC，∠PEC=90°，
∴∠EPC=∠ECP=45°，
∵∠PCD=∠B+∠BPC=∠PCE+∠ECD，
∵∠B=∠PCE=45°，
∴∠BPC=∠ECD．

（2）證明：如圖2中，作EK⊥AB于K，EH⊥CM于H．

∵∠PMC+∠PEC=180°，
∴∠MPE+∠ECH=180°，
∵∠EPK+∠MPE=180°，
∴∠EPK=∠ECH，
∵∠EKP=∠EHC=90°，EP=EC，
∴△EKP≌△EHC，
∴EK=EH，∵EK⊥AB于K，EH⊥CM于H．
∴∠EMK=∠EMC=45°，
∴∠AME=∠B，
∴ME∥BC，
∵CA=CB，CM⊥AB，
∴AM=BM，CM=AM=BM，
∴AE=ED，
在Rt△ACD中，EC=AE=ED，
∵MA=MC，
∴ME垂直平分線段AC．

（3）解：結論：PB²+AP²=2PC²．
理由：如圖3中，將△ACP繞點C逆時針旋轉90°得到△BCN．

則∵∠ABC=∠CBN=45°，
∴∠PBN=90°，
∴PB²+BN²=PN²，
∵PC=CN，∠ACP=∠BCN，
∴∠PCN=∠ACB=90°，
∴PN=$\sqrt{2}$PC，AN=BN，
∴PB²+AP²=2PC²．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、角平分線的判定定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用旋轉法添加輔助線構造全等三角形，屬于中考壓軸題．