Question

7．如圖，邊長(zhǎng)為a的正六邊形中，連接一些頂點(diǎn)，中間圍成一個(gè)新的小正六邊形（陰影部分），則$\frac{{l}_{外部正六邊形}}{{l}_{陰影}}$（l為周長(zhǎng)）等于（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 作PH⊥AB于H，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出PA，根據(jù)多邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 解：作PH⊥AB于H，
∵六邊形是邊長(zhǎng)為a的正六邊形，
∴外部正六邊形的周長(zhǎng)為6a，
∵六邊形是正六邊形，
∴∠PAB=30°，
∴PA=$\frac{AH}{cos∠PAH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
由題意得，陰影部分是正六邊形，
∴陰影周長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a×6=2$\sqrt{3}$a，
則$\frac{{l}_{外部正六邊形}}{{l}_{陰影}}$=$\frac{6a}{2\sqrt{3}a}$=$\sqrt{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題正多邊形和圓，掌握正多邊形的概念和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．