Question

19．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x+m與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于Q點，點B（1，6）在反比例函數的圖象上，過B作BP∥x軸交直線y=$\frac{1}{2}$x+m于點P，過點P作PA∥y軸交雙曲線于點A，連結AQ，BQ．
（1）點A的縱坐標為$\frac{3}{6-m}$（用含m的代數式表示）；
（2）當S_△APQ=2S_△BPQ時，m的值為3．

Answer 1

分析 （1）將B代入反比例函數即可求出k的值，由于BP∥x軸，PA∥y軸，從而可知B與P的縱坐標相同，A與P的橫坐標相同，從而求出A的坐標．
（2）過點Q作QM⊥AP于M，QN⊥BP于點N，分別求出BP、QN、QM、AP的長度即可求出m的值．

解答 解：（1）將B（1，6）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=6，
∴反比例函數的解析式為：y=$\frac{6}{x}$，
∵BP∥x軸，
∴P的縱坐標為6，
將y=6代入y=$\frac{1}{2}$x+m，
∴x=12-2m，
∵PA∥y軸，
∴A的橫坐標為：12-2m，
把x=12-2m代入y=$\frac{6}{x}$，
∴y=$\frac{3}{6-m}$，

（2）過點Q作QM⊥AP于M，QN⊥BP于點N，
∵B（1，6），P（12-2m，6），A（12-2m，$\frac{3}{6-m}$），
∴BP=12-2m-1=11-2m，AP=6-$\frac{3}{6-m}$=$\frac{33-6m}{6-m}$
設Q（x，y）
∴QM=12-2m-x，QN=6-y，
∵S_△APQ=2S_△BPQ
∴AP•QM=2BP•QN，
∴代入化簡可得：-$\frac{3x}{6-m}$=6-2y，
∵y=$\frac{6}{x}$，
∴把y=$\frac{6}{x}$代入-$\frac{3x}{6-m}$=6-2y，
化簡可得：x²+（12-2m）x+4m-24=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$
化簡可得：x²+2mx-12=0，
∴12-2m=2m，
∴m=3
故答案為：（1）$\frac{3}{6-m}$；（2）m=3

點評 本題考查一次函數與反比例函數的綜合問題，解題的關鍵是求出反比例函數的解析式，然后求出B、P、A的坐標，本題屬于中等題型．