Question

11．如圖，點E是正方形ABCD內一點，DE=2，AE=1，EB=$\sqrt{2}$
（1）將△AED繞點A順時針旋轉90度，畫出旋轉后的圖形；
（2）求∠AEB的度數；
（3）求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度，畫出△AED繞點A順時針旋轉90度后的圖形；
（2）根據旋轉的性質，可得△AEF是等腰直角三角形，根據勾股定理的逆定理，可得△BEF是等腰直角三角形，且∠BEF=90°，進而得到∠AEB=∠AEF+∠BEF=135°；
（3）根據△AEF和△BEF都是等腰直角三角形，可得∠AFB=90°，再根據Rt△ABF中，AB²=AF²+BF²=1+4=5，可得正方形ABCD的面積．

解答 解：（1）如圖所示，△ABF即為所求；


（2）∵△ADE繞點A順時針旋轉90度后得到△ABF，
∴AE=AF=1，∠EAF=90°，DE=BF=2，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，EF=$\sqrt{2}$，
又∵EB=$\sqrt{2}$，
∴BE²+EF²=4=BF²，
∴△BEF是等腰直角三角形，且∠BEF=90°，
∴∠AEB=∠AEF+∠BEF=45°+90°=135°；

（3）由（2）可得，△AEF和△BEF都是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠BFE=45°，
∴∠AFB=90°，
∴Rt△ABF中，AB²=AF²+BF²=1+4=5，
∴正方形ABCD的面積=AB²=5．

點評 本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，勾股定理及其逆定理的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握旋轉的性質：旋轉前、后的圖形全等．