Question

16．如圖，平面直角坐標系中，已知點A（a-b，2$\sqrt{3}$），B（a+b，0），AB=4，且$\sqrt{a-3b}$+（a+b-4）²=0，C為x軸上點B右側的動點，以AC為腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直線DB交y軸于點P．
（1）求證：AO=AB；
（2）求證：∠AOC=∠ABD；
（3）當點C運動時，點P在y軸上的位置是否發生改變，為什么？（提示：在直角三角形中，若兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則有a²+b²=c²）

Answer 1

分析 （1）根據算術平方根和平方的非負性質即可求得a、b的值，進而求得A，B點坐標，求得OA，AB長度即可；
（2）易證∠OAC=∠BAD，即可證明△OAC≌△BAD，根據全等三角形的性質，可得對應角相等；
（3）點P在y軸上的位置不發生改變，先判定△AOB是等邊三角形，易證∠OBP=60°，根據OB長度固定和∠OPB=30°，即可求得OP的長為定值．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-3b}$+（a+b-4）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3b=0}\\{a+b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴A（2，2$\sqrt{3}$），B（4，0），
∴AO=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
又∵AB=4，
∴AO=AB；

（2）∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，
即∠OAC=∠BAD，
在△OAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AB}\\{∠OAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△OAC≌△BAD（SAS），
∴∠AOC=∠ABD；

（3）點P在y軸上的位置不發生改變．
證明：由（1）可得，AB=BO=AO=4，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
由（2）知△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=60°，
∴∠OBP=60°，
∵∠POB=90°，
∴∠OPB=30°，
∴Rt△BOP中，BP=2OB=8，
∴OP=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，即OP長度不變，
∴點P在y軸上的位置不發生改變．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，等邊三角形的判定與性質以及全等三角形對應邊相等的性質的運用，本題中熟知全等三角形的判定定理，判定△OAC≌△BAD是解題的關鍵．