Question

1．七年級某數學小組學習了圖形的全等之后，進行了如下研究：

（1）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D，E．
①如圖1，當直線m經過∠BAC內部時，在圖1中完成，經測量發現，DE=|BD-CE|（=、＜、＞）
②如圖2，當直線m經過△ABC外部時，你認為DE、BD、CE間的關系是DE=BD+CE．
（2）如圖3，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并有∠BDA=∠ABC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角，請問結論DE=BD+CE是否成立？如果成立，請你給出推理過程；若不成立，請說明理由．
（3）拓展與說明：如圖4，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），且DE=α，點F在∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE．若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試求△DEF周長．

Answer 1

分析 （1）①分兩種證明，Ⅰ、根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE=BD，AD=CE，即可得出結論；Ⅱ、同Ⅰ的方法即可．
②根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，進而得出△ADB≌△CEA即可得出答案；
（3）由△ABF和△ACF均為等邊三角形，得到BAC=∠BAF+∠CAF=120°，利用∠BDA=∠BAC=120°，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，得出∠CAE=∠ABD，進而得出△ADB≌△CEA，根據全等三角形的性質得到AE=BD，∠ABD=∠CAE，得到∠DBF=∠FAE，根據全等三角形的性質得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，根據得到結論

解答 證明：（1）①Ⅰ、如圖1，②∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE-AD=BD-CE；
Ⅱ、如圖1-1，
∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD-AE=CE-BD，
綜上兩種情況：DE=|BD-CE|，
故答案為：①=，②DE=BD+CE；

②∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴BAC=∠BAF+∠CAF=120°，
∴∠BDA=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，∠ABD=∠CAE，
∵∠DBF=60°+∠ABD，∠FAE=60°+∠CAE，
∴∠DBF=∠FAE，
在△BDF與△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠DBF=∠EAF}\\{BF=AF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△AEF，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∵∠BFD+∠AFD=60°，
∴∠EFA+∠AFD=60°，
即∠DFE=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴△DEF的周長為3DE=3a．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，由條件證明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解題的關鍵．