Question

14．把幾個數用大括號括起來，相鄰兩個數之間用逗號隔開，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我們稱之為集合，其中的每一個數稱為該集合的元素，如果一個所有元素均為有理數的集合滿足：當有理數x是集合的一個元素時，2016-x也必是這個集合的元素，這樣的集合我們又稱為黃金集合．例如{0，2016}就是一個黃金集合，
（1）集合{2016}不是黃金集合，集合{-1，2017}是黃金集合；（兩空均填“是”或“不是”）
（2）若一個黃金集合中最大的一個元素為4016，則該集合是否存在最小的元素？如果存在，請直接寫出答案，否則說明理由；
（3）若一個黃金集合所有元素之和為整數M，且24190＜M＜24200，則該集合共有幾個元素？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據有理數a是集合的元素時，2016-a也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為黃金集合，從而可以解答本題；
（2）根據2016-a，如果a的值越大，則2016-a的值越小，從而可以解答本題；
（3）根據題意可知黃金集合都是成對出現的，并且這對對應元素的和為2016，然后通過估算即可解答本題．

解答 解：（1）根據題意可得，2016-2016=0，而集合{2016}中沒有元素0，故{2016}不是黃金集合；
∵2016-2017=-1，
∴集合{-1，2017}是黃金集合．
故答案為：不是，是．

（2）一個黃金集合中最大的一個元素為4016，則該集合存在最小的元素，該集合最小的元素是-2000．
∵2016-a中a的值越大，則2016-a的值越小，
∴一個黃金集合中最大的一個元素為4016，則最小的元素為：2016-4016=-2000．

（3）該集合共有24個元素．
理由：∵在黃金集合中，如果一個元素為a，則另一個元素為2016-a，
∴黃金集合中的元素一定是偶數個．
∵黃金集合中的每一對對應元素的和為：a+2016-a=2016，2016×12=24192，2016×13=26208，
又∵一個黃金集合所有元素之和為整數M，且24190＜M＜24200，
∴這個黃金集合中的元素個數為：12×2=24（個）．

點評 本題考查了有理數以及探究性問題，關鍵是明確什么是黃金集合，集合中的各個數都是元素，明確黃金集合中的元素個數都是偶數個，在此還要應用到估算的知識．