Question

20．如圖，四邊形ABCD中，BD與AC相交于E點(diǎn)，AE=CE，BC=AC=DC，則tan∠ABD•tan∠ADB=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由BC=AC=DC知A、B、D在以C為圓心的圓上，延長AC交⊙C于點(diǎn)F，連接DF、BF，由圓周角定理知∠ADF=∠ABF=90°，∠ABD=∠AFD、∠ADB=∠AFB，證△ABE∽△DFE、△ADE∽△BFE得$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{DE}$、$\frac{AD}{BF}$=$\frac{DE}{EF}$，從而由tan∠ABD•tan∠ADB=tan∠AFD•tan∠AFB=$\frac{AD}{DF}$•$\frac{AB}{BF}$=$\frac{AD}{BF}$•$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{DE}$•$\frac{DE}{EF}$=$\frac{AE}{EF}$可得答案．

解答 解：∵BC=AC=DC，
∴點(diǎn)A、B、D在以C為圓心的圓上，
如圖所示，延長AC交⊙C于點(diǎn)F，連接DF、BF、

則∠ADF=∠ABF=90°，∠ABD=∠AFD、∠ADB=∠AFB，
∵∠AEB=∠DEF、∠AED=∠BEF，
∴△ABE∽△DFE，△ADE∽△BFE，
∴$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{DE}$、$\frac{AD}{BF}$=$\frac{DE}{EF}$，
則tan∠ABD•tan∠ADB=tan∠AFD•tan∠AFB
=$\frac{AD}{DF}$•$\frac{AB}{BF}$
=$\frac{AD}{BF}$•$\frac{AB}{DF}$
=$\frac{AE}{DE}$•$\frac{DE}{EF}$
=$\frac{AE}{EF}$，
設(shè)AE=CE=x，則AC=CF=2x，
∴AF=4x，
∴EF=AF-AE=3x，
則tan∠ABD•tan∠ADB=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，根據(jù)圓周角定理證得兩對三角形相似是解題的關(guān)鍵．