Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，且AD：BD=16：9，求sinA的值．

Answer 1

分析 首先根據AD：BD=16：9設AD=16x，則BD=9x，然后利用△ACD∽△CBD求得CD=12x，利用勾股定理求得AC的長，從而利用正弦函數的定義求解即可．

解答 解：∵AD：BD=16：9，
∴設AD=16x，則BD=9x，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD=16x•9x，
∴CD=12x，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（12x）^{2}+（16x）^{2}}$=20x，
∴sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{12x}{20x}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的應用及解直角三角形的知識，解題的關鍵是能夠利用相似三角形的知識求得CD的長，難度中等．