Question

17．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P在該拋物線上滑動，則滿足S_△PAB=1的點P有幾個？求出所有點P的坐標；
（3）在該拋物線的對稱軸上存在點M，使得△MAC的周長最小，求出這個點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）結合點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）設點P的坐標為（x，y）．結合三角形的面積公式求出y=±1，將其代入拋物線解析式中求出x值，由此即可得出結論；
（3）假設存在，過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C′，連接AC′交拋物線對稱軸于點M，連接MC，任取拋物線對稱軸上除M外的任意一點N，連接NA，NC、NC′，利用三角形兩邊之和大于第三邊得出點A、M、C′三點共線時，△MAC的周長最小．由拋物線的解析式找出點C的坐標以及拋物線的對稱軸，利用對稱的性質找出點C′的坐標，結合點A、C′的坐標利用待定系數法求出直線AC′的解析式，再聯立直線AC′的解析式與拋物線的對稱軸成方程組，解方程組即可求出點M的坐標．

解答 解：（1）將點A（1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\\{\;}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為y=-x²+4x-3．
（2）設點P的坐標為（x，y）．
∵AB=2，S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB•|y|=1，
∴y=±1．
當y=1時，有1=-x²+4x-3，即x²-4x+4=（x-2）²=0，
解得：x₁=x₂=2；
當y=-1時，有-1=-x²+4x-3，即x²-4x+2=0，
解得：x₃=2-$\sqrt{2}$，x₄=2+$\sqrt{2}$．
∴滿足條件的點P有三個坐標分別為（2，1），（2+$\sqrt{2}$，-1），（2-$\sqrt{2}$，-1）．
（3）假設存在．
過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C′，連接AC′交拋物線對稱軸于點M，連接MC，任取拋物線對稱軸上除M外的任意一點N，連接NA，NC、NC′，如圖所示．

∵NA+NC=NA+NC′＞AC′=MA+MC′=MA+MC，
∴當點A、M、C′三點共線時，△MAC的周長最小．
∵拋物線的解析式為y=-x²+4x-3，
∴點C的坐標為（0，-3），拋物線的對稱軸為x=-$\frac{4}{2×（-1）}$=2，
∴C′（4，-3）．
設直線AC′的解析式為y=mx+n，
∵點A（1，0）、C′（4，-3）在直線AC′上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC′的解析式為y=-x+1．
聯立直線AC′的解析式和拋物線的對稱軸成方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴直線AC′與對稱軸x=2的交點為（2，-1），即M（2，-1），
∴存在點M（2，-1），可使△AMC的周長最小．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、三角形的面積、解一元二次方程、對稱的性質、二次函數的性質以及解二元一次方程組，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出函數解析式；（2）根據三角形的面積求出點P的縱坐標；（3）找出點M的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，結合點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．