Question

2．如圖，AB=4，O為AB的中點，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一動點，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點P、B、C按逆時針方向排列），則線段AC的長的取值范圍為$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作OK⊥AB，在OK上截取OK=OA=OB，連接AK、BK、KC、OP．首先證明△OBP∽△KBC，得$\frac{KC}{OP}$=$\frac{BC}{PB}$=$\sqrt{2}$，由OP=1，推出KC=$\sqrt{2}$，所以點C的運動軌跡是以點K為圓心，KC為半徑的圓，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，作OK⊥AB，在OK上截取OK=OA=OB，連接AK、BK、KC、OP．

∵OK=OA=OB，OK⊥AB，
∴KA=KB，∠AKB=90°，
∴△AKB是等腰直角三角形，
∵∠OBK=∠PBC，
∴∠OBP=∠KBC，
∵$\frac{OB}{BK}$=$\frac{PB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△OBP∽△KBC，
∴$\frac{KC}{OP}$=$\frac{BC}{PB}$=$\sqrt{2}$，∵OP=1，
∴KC=$\sqrt{2}$，
∴點C的運動軌跡是以點K為圓心，KC為半徑的圓，
AK=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∴AC的最大值為3$\sqrt{2}$，AC的最小值$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤AC≤3$\sqrt{2}$．
故答案為$\sqrt{2}$≤AC≤$3\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，解題的突破點是發現點C的運動軌跡是以點K為圓心，KC為半徑的圓，所以中考填空題中的壓軸題．