Question

17．已知如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E在AB上，且BD²=BE•BC；
（1）求證：∠BDE=∠C；
（2）求證：AD²=AE•AB．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義得到∠ABD=∠CBD，由BD²=BE•BC，得到$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BD}$，推出△EBD∽△DBC，根據相似三角形的性質即可得到結論；
（2）由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代換得到∠ABD=∠ADE，證得△ADE∽△ABD，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 證明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD²=BE•BC，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BD}$，
∴△EBD∽△DBC，
∴∠BDE=∠C；

（2）∵∠BDE=∠C，
∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，
∴∠DBC=∠ADE，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADE，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
即AD²=AE•AB．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，角平分線的性質，熟練掌握相似三角形的性質即可得到結論．