Question

10．正方形ABCD，P為BC邊上一點．BC=nBP，以AP為斜邊在正方形內作等腰Rt△APQ，連結AC．

（1）求證：△ACP∽△ADQ；
（2）若n=2，求$\frac{CE}{AE}$和$\frac{PE}{QE}$的值；
（3）當n=2時，E為PQ的中點；（直接填出結果，不需耍證明）
（4）如圖2，延長PQ交AD于點F，用n的代數式表示$\frac{DF}{AF}$為$\frac{n-1}{{n}^{2}+1}$．（直接填出結果，不需要證明）

Answer 1

分析 （1）只要證明，$\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{2}$，$\frac{AP}{AQ}$=$\sqrt{2}$，推出$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AP}{AQ}$，再證明∠DAQ=∠CAP即可證明．
（2）由題意設正方形ABCD的邊長為2a，則PB=PC=a，由△APE∽△ACP，推出$\frac{PE}{PC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AP}$=$\frac{\sqrt{5}a}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，推出AE=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$a，PE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，推出EC=AC-AE=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$a，由PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，推出QE=PQ-PE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，推出PE=QE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，由此即可解決問題．
（3）由（2）可知n=2時，PE=QE．
（4）連接AC、DQ、BQ、作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N．由（1）可知△ADQ∽△ACP，推出∠ADQ=∠ACP=45°，推出DQ平分∠ADC，由△AQM≌△PQN，推出MQ=QN，AM=PN，推出四邊形MBNQ是正方形，推出BQ平分∠ABC，BM=BN，推出B、Q、D共線，設PB=a，AM=PN=m，則AB=BC=na，可得a+m=an-m，即m=$\frac{n-1}{2}$a，推出BM=BN=$\frac{n+1}{2}$a，BQ=$\sqrt{2}$BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1）a，由BD=$\sqrt{2}$na，推出DQ=BD-BQ=$\sqrt{2}$na-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1）a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n-1）a，由DF∥PB，得$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DQ}{BQ}$，求出DF即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，$\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∵△APQ為等腰直角三角形，
∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，$\frac{AP}{AQ}$=$\sqrt{2}$，
∴∠PAC=∠QAD，$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AP}{AQ}$，
∴△ACP∽△ADQ；

（2）解：由題意設正方形ABCD的邊長為2a，則PB=PC=a，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，AC=2 $\sqrt{2}$a，
∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，
∴△APE∽△ACP，
∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AP}$=$\frac{\sqrt{5}a}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴AE=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$a，PE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，
∴EC=AC-AE=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$a，
∵PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
∴QE=PQ-PE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，
∴PE=QE=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}a}{\frac{5\sqrt{2}}{4}a}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{PE}{QE}$=1．

（3）解：由（2）可知，n=2時，PE=EQ．
故答案為2．

（4）解：連接AC、DQ、BQ、作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N．
由（1）可知△ADQ∽△ACP，
∴∠ADQ=∠ACP=45°，
∴DQ平分∠ADC，
∵∠QMB=∠MBN=∠QNB=90°，
∴四邊形MBNQ是矩形，
∵∠MQN=∠AQP=90°，
∴∠AQM=∠PQN，∵∠AMQ=∠QNP=90°，AQ=PQ，
∴△AQM≌△PQN，
∴MQ=QN，AM=PN，
∴四邊形MBNQ是正方形，
∴BQ平分∠ABC，BM=BN，
∴B、Q、D共線，設PB=a，AM=PN=m，則AB=BC=na，
∴a+m=an-m，
∴m=$\frac{n-1}{2}$a，
∴BM=BN=$\frac{n+1}{2}$a，BQ=$\sqrt{2}$BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1）a，
∵BD=$\sqrt{2}$na，
∴DQ=BD-BQ=$\sqrt{2}$na-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1）a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n-1）a，
∵DF∥PB，
∴$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DQ}{BQ}$，
∴$\frac{DF}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（n-1）a}{\frac{\sqrt{2}}{2}（n+1）a}$，
∴DF=$\frac{n-1}{n+1}$a，
∴AF=AD-DF=na-$\frac{n-1}{n+1}$a=$\frac{{n}^{2}+1}{n+1}$a，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\frac{n-1}{n+1}a}{\frac{{n}^{2}+1}{n+1}a}$=$\frac{n-1}{{n}^{2}+1}$．
故答案為$\frac{n-1}{{n}^{2}+1}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、正方形的性質和判定、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數，探究線段之間的關系，屬于中考壓軸題．